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请问哪位数学高人能告诉我数值线性代数中的schur分解定理和盖尔

发布时间:2019-05-31 10:38 来源:未知 编辑:admin

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  (而且还可以进一步要求R的对角元素为矩阵A的特征值, 还可以按顺序排列.)

  矩阵的QR分解定理: 任意nxn实矩阵A, 存在正交阵Q与上三角阵R, 使得A=Q*R

  (证明用到数值分析中的Householder变换, 好像还有矩阵收缩技巧)

  给定nxn实矩阵A, 可以求出A的n个特征值, 不妨设为c1,c2,...,cn(顺序没有要求). 我们假设存在上述的U与R, 只要将它们求出来了, 即可说明其存在性了, 同时也说明了其构造或求解的过程. 同时为了过程简略,设特征值互不相同. 特殊情况在最后再加以说明.

  下面的过程, 只是为了解出U,R. 令R的对角元为 左下角的全为0, 只有右上角的(n^2-n)/2个待求变量. U中有n^2个变量.下面就求出这些变量,注意要利用另一个条件,就是矩阵U的性质(酉矩阵)

  由于R为上三角阵, 且对角元为A的特征值, 所以列向量r1只有第一个元素为c1, 其余的全为0. 所以上式就可以化为: A*u1=c1*u1. u1为A的特征值c1所对应的特征向量, 当然存在, 可以求出来了. 再利用酉矩阵的性质(不同的列向量都正交,且为单位向量, 所以要将u1单位化. 这样, 得到U的第1列u1.

  如此继续, 直到第n步的A*un=U*rn. 这样便可以解出所有的rij与uk, 矩阵U与R便可以确定了.

  注: 1. 若出现重特征值, 比如ck为m重特征值, 则按上面方法求出的uk会有m个线性无关的解. 将正交性, 单位长度的条件都用上, 仍可以解出来. 这些向量的求法与高等代数中求若当标准形, 求特征值特征向量极为相似.

  盖尔圆盘定理 用Gerschgorin圆盘定理证明: 矩阵能够相似于对角矩阵且的特征值都是正实数. 证明: 的5个盖尔圆盘为它们都是孤立的, 从而矩阵有5个互异特征值, 所以矩阵能够相似于对角矩阵, 再由关于实轴对称且都在y坐标轴右边, 以及实矩阵的复数特征值成对共扼出现的性质知, 中的特征值必为正实数, 所以的特征值都是正实数. 设矩阵, 表示矩阵的最大奇异值。

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