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行列式等于零向量组就线性相关为什么?是哪个定理吗?

发布时间:2019-07-04 01:29 来源:未知 编辑:admin

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  原因:线性相关就是各行或列能互相线性表示,能进行初等变换,把某一行或列变换到另一行或列,最后有一行会全为0,计算时行列式就等于0。所以行列式等于0就是线性相关。

  在n维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

  对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。

  向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

  若n阶行列式αij中某行(或列);行列式则αij是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与αij的完全一样。

  原因:线性相关就是各行或列能互相线性表示,能进行初等变换,把某一行或列变换到另一行或列,最后有一行会全为0,计算时行列式就等于0。所以行列式等于0就是线性相关。

  在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

  若n阶行列式αij中某行(或列);行列式则αij是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与αij的完全一样。

  把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上,结果仍然是A。

  九个数a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3排成的三阶行列式记为

  ,它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解,在数学各分支有广泛的应用。在代数上,行列式可用来简化某些表达式,例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。

  如果行列式的某行(列)的各元素是两个元素之和,那么这个行列式等于两个行列式的和。

  如果行列式中有两行(列)相同,那么行列式为零。(所谓两行(列)相同就是说两行(列)的对应元素都相等)

  还有一种可能,就是行列式不为零,但是也是向量组线性相关的,也就是说行列式不为零的不全是线性无关的

  其实可以将行列式理解为该维度空间的积。比如三阶行列式为零的话,就相当于处于该三维空间的的向量构成的闭合体体积为零,意思就是线性相关,因为线性相关则说明三个向量中两个必然可以表示另一个向量,也就是说它们是在同一平面上的,是二维的,自然不存在三维的体积了,也就是行列式等于零。这样说虽然不算严谨的证明,但可以让人比较容易理解。

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