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向量组的线性表示的充要条件定理的扩展

发布时间:2019-06-12 11:16 来源:未知 编辑:admin

  学习本章,要求读者掌握向量组线性相关、线性无关,向量组和矩阵的秩,正交向量组等重要概念,了解线性空间的基本知识,熟练掌握线性方程组解的结构及其判别法则,熟练运用初等变换方法求矩阵的秩、逆阵,求解齐次和非齐次线 n维向量

  n个有顺序的数 所组成的数组 叫作n维向量;数 叫作向量α的分量(或坐标)。分量是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量。

  1. 在M中定义一种运算,称为加法即对M中任意两个元素α和β,都按某些法则对应于M内唯一确定的元素,记为;

  2. 在M中定义一种运算,称为数乘,即对M中任意元素α和数域K中任意实数k,都按某一法则对应于M内唯一确定的一个元素,记为 。

  三、线. 线性表示:对于向量 ,如果有一组数 ,使 则说向量α是 的线性组合,或说α可由 线. 线性相关和线性无关:设有n维向量组 ,如果存在一组不全为零的数 ,使得 则称向量组 线性相关。否则称它线 向量组线性相关的充要条件是其中至少有一向量能用组中其余向量线 设 . 若r维向量组 线 维向量组 亦线性无关。

  推论 r维向量组的每个分量添上n-r 个分量,成为n维向量组,若r维向量组线性无关,则n维向量组亦线性无关。反之,若n维向量组线性相关,则r维向量组亦线 个n维向量都是线性相关的。

  推论 设 是m个n维向量。如果m>n ,那么这m个向量必定线 向量组的秩

  定义 如果向量组B中的每个向量都可由向量组A中的向量线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示。如果向量组B可由向量组A线性表示,且向量组A也能由向量组B线性表示,则称向量组A与向量组B等价。

  3. 传递性 如果向量组A与向量组B等价,向量组B与向量组C等价,那么向量组A与向量组C等价。

  二、极大线 设S是n维向量所组成的向量组,在S中选取r个向量 ,如果满足:

  如果A组线性无关,且A组可由B组线性表示,则A组向量个数r必不大于B组向量个数s,即r≤s 。

  例 的极大无关组是 ,故向量组的秩是2。另外, 也是向量组的极大无关组,故一个向量组中的极大线性无关组不唯一。

  推论3 设向量组A的秩为k,向量组B的秩为l。若A能由B线性表示,则k≤l 。

  (1) 线)V中任一向量都可由 线性表示,那么,向量组 称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间。

  若把向量空间看作向量组,则V的基就是向量组的极大线性无关组,V的维数就是向量组的秩。

  定义 若m×n 矩阵A的m个行向量所构成的向量组的秩为r,则称r为矩阵A的秩,记作 .

  定义 在m×n 矩阵A中任取k行、k列 ,位于这些行列交叉处的元素构成一个k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。

  定理1 设矩阵A中有一个r阶子式 ,且所有含有D的r+1 阶子式(如果存在的话)都等于零,则A的秩

  3. 把矩阵中某一行(列)的所有元素的k倍加到该矩阵的另一行(列)对应元素上去。

  定理1 若矩阵A经过有限次初等行(列)变换变成矩阵B,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。

  定理2 若AB,则 . 当A为n阶可逆方阵时,由于 , 故称可逆方阵为满秩方阵,而奇异方阵为降秩方阵。

  推论 m×n矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶可逆方阵P与n阶可逆方阵Q,使得 。

  设要计算 ,先作辅助的 矩阵 对M作一系列初等行变换,使A所在的位置变为E,这相当于对上式两端左乘一系列初等方阵 ,使

  因此,若采用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交基;若采用标准正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交规范基。

  设 是向量空间V的一个基,要求V的一个正交规范基。这也就是要求一组两两正交的单位向量 ,使 与 等价。这样一个问题,称为把 这个基正交规范化。

  定理 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量组或列向量组是标准正交向量组。

  若线性方程组为齐次方程组,则此时系数矩阵与增广矩阵必同秩,因而齐次线性方程组一定有解。例如零向量就是方程组的解,称为方程组的零解或平凡解。

  下面我们给出n元齐次线方程组有非零解的判别定理: 对n元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩r等于n,则齐次方程组无非零解;若系数矩阵的秩r小于n,则齐次方程组有无穷多个非零解存在。

  定理 在齐次线性方程组有非零的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于n-r ,这里r表示系数矩阵的秩。(证明)

  定理 如果 是方程组(1)的一个特解,那么方程组(1)的任一解可表示为 其中η是相应的齐次方程组的解。(证明)

  现在介绍求线性方程组的数值方法--高斯消去法,其基本思想是采用求解方程组的通常的技巧,把原方程组化为具有上三角系数阵的等价方程组再求解,一般经过两个步骤:消元过程和回代过程。现通过举例略加说明。

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